Условие
В пакете три монеты: первая — честная (P(орёл) = 0.5), вторая — смещённая (P(орёл) = 0.7), третья — двуглавая (P(орёл) = 1). Случайно вытащили одну, подбросили 3 раза, выпало 3 орла. Какова вероятность, что вы держите двуглавую монету?
Решение
Формула Байеса
P(монета_i | OOO) = P(OOO | монета_i) · P(монета_i) / P(OOO)
Априорные P(каждая) = 1/3.
Считаем условные вероятности
| Монета | P(OOO | монета) |
|---|---|
| Честная (0.5) | 0.5³ = 0.125 |
| Смещённая (0.7) | 0.7³ = 0.343 |
| Двуглавая (1.0) | 1.0³ = 1.000 |
Полная вероятность
P(OOO) = (1/3)·(0.125 + 0.343 + 1.000) = 1.468 / 3 ≈ 0.4893
Постериоры
| Монета | Posterior |
|---|---|
| Честная | (0.125/3) / 0.4893 ≈ 0.0852 |
| Смещённая | (0.343/3) / 0.4893 ≈ 0.2337 |
| Двуглавая | (1.000/3) / 0.4893 ≈ 0.6811 |
Ответ: ≈ 68.1% что монета двуглавая.
Простая проверка
Сумма постериоров = 0.0852 + 0.2337 + 0.6811 = 1.0000 ✓
Интуиция «информативности» подбрасываний
Каждое следующее «орёл» сдвигает posterior в сторону двуглавой:
| Бросков с орлом | P(двуглавая) |
|---|---|
| 1 | ≈ 0.455 |
| 2 | ≈ 0.578 |
| 3 | ≈ 0.681 |
| 5 | ≈ 0.793 |
| 10 | ≈ 0.953 |
Никогда не достигает 1, пока вы не получите хотя бы один «решка» (что мгновенно даёт posterior(двуглавой) = 0).
Python
priors = [1/3, 1/3, 1/3]
likes = [0.5**3, 0.7**3, 1.0**3]
joint = [p * l for p, l in zip(priors, likes)]
total = sum(joint)
posts = [j / total for j in joint]
print(posts[2]) # ≈ 0.681Подводные камни
- «Все три монеты — равновероятны, и три орла говорят 100% за двуглавую». Нет — у честной и смещённой ненулевая вероятность дать ООО.
- Один бросок «решка» → posterior(двуглавая) = 0 мгновенно. Это property двуглавой как deterministic.
- Зависимость бросков. Бросая одну и ту же монету, бросания независимы — но среди монет монета зафиксирована, и события не «независимы относительно неба», а «независимы при условии монеты».
- Прямой счёт «3 из 3 → P = 1» — это
P(OOO | двуглавая), не наоборот.
Эталонный ответ
P(двуглавая | OOO) = (1.0 · 1/3) / ((0.125 + 0.343 + 1.000)/3) ≈ 68.1%. Каждое следующее «орёл» сдвигает posterior в сторону двуглавой, но posterior достигает 1 только в пределе или при наблюдении, исключающем другие монеты.