Хабр Статистика — два кубика, сумма 7

Условие

Бросают два правильных шестигранных кубика.

1. Какова вероятность, что сумма равна 7?
2. Какова вероятность, что сумма равна 7, если известно, что на первом кубике выпало 4?
3. Какова вероятность, что хотя бы на одном кубике выпала 6, если известно, что сумма равна 7?

Решение

Все 36 равновероятных исходов

Пара (d1, d2) где d_i ∈ {1..6}.

1) P(сумма = 7)

Пары, дающие сумму 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 штук.

P = 6/36 = 1/6.

2) P(сумма = 7 | d_1 = 4)

При фиксированном d_1 = 4 нужно d_2 = 3. Это 1 исход из 6.

P = 1/6.

Интересно: ответ тот же, что и в (1)! Сумма 7 — единственное число, для которого P(сумма | d_1) равна одной и той же 1/6 для любого фиксированного d_1 от 1 до 6. Это потому, что для суммы 7 на каждое значение d_1 есть ровно один подходящий d_2.

3) P(хотя бы один = 6 | сумма = 7)

Среди 6 пар с суммой 7:

• (1,6) — да;
• (6,1) — да;
• остальные четыре — нет.

P = 2/6 = 1/3.

Распределение суммы двух кубиков

Симметричное треугольное распределение. Сумма 7 — мода.

Полезные обобщения

• Для n кубиков среднее суммы = 3.5 · n (по линейности матожидания).
• Var(сумма n кубиков) = n · 35/12 (независимость).
• Для большой n распределение по ЦПТ стремится к нормальному с теми же параметрами.

Подводные камни

1. Считать (4,3) и (3,4) одним исходом. При различимых кубиках это два разных исхода. Если кубики неразличимы и спрашивают «множество значений» — комбинаторика другая.
2. P(d_1 = 4 ИЛИ d_2 = 4) ≠ P(d_1 = 4) + P(d_2 = 4) = 2/6 — нужно вычесть пересечение (4,4). Формула включения-исключения: 1/6 + 1/6 - 1/36 = 11/36.
3. P(сумма = X | d_1 = k) не равно P(сумма = X), кроме как для X = 7. Для других сумм условная вероятность 0 или 1/6 в зависимости от того, существует ли d_2 = X - k ∈ [1, 6].
4. Кубик «несправедливый», если задача про реальные данные. На честных кубиках равномерное.

Эталонный ответ

1. P(сумма = 7) = 6/36 = 1/6. 2) P(сумма = 7 | d_1 = 4) = 1/6 — единственный X, для которого условие на одну кость не меняет вероятность. 3) P(хотя бы 6 | сумма = 7) = 2/6 = 1/3 (пары (1,6) и (6,1)).