Условие

В мешке 3 карточки:

Карта A: обе стороны красные (RR).
Карта B: обе стороны чёрные (BB).
Карта C: одна сторона красная, другая чёрная (RB).

Достаём случайную карту, кладём на стол случайной стороной. Сверху видим красную. Какова вероятность, что обратная сторона тоже красная?

Решение

Интуитивная (неверная!) и правильная

Интуиция: «Раз сверху красная — это либо карта A (RR), либо карта C (RB). Из двух карт одна имеет красную обратную. Вероятность = 1/2».

Правильно: учитываем, что карта A даёт два способа показать красную сторону, а карта C — только один. Значит, среди наблюдений «вижу красную» карта A появляется чаще.

Через Байеса

Обозначим R_top — событие «сверху красная».

P(R_top | A) = 1     (обе стороны красные)
P(R_top | B) = 0
P(R_top | C) = 1/2

P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

P(R_top) = 1 · 1/3 + 0 · 1/3 + 1/2 · 1/3 = 1/3 + 1/6 = 1/2

P(A | R_top) = P(R_top | A) · P(A) / P(R_top)
             = (1 · 1/3) / (1/2) = 2/3

P(C | R_top) = (1/2 · 1/3) / (1/2) = 1/3

Вероятность, что обратная сторона тоже красная = вероятность, что это карта A:

→ 2/3.

Через подсчёт «состояний»

Всего 6 «сторон» (3 карты × 2 стороны): 3 красные (две у A, одна у C) и 3 чёрные.

Условие «сверху красная» → 3 равновероятные стороны:

2 из них принадлежат карте A (обе её стороны красные);
1 — карте C (вторая сторона чёрная).

P(обратная красная | сверху красная) = 2/3.

Симуляция

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
cards = [('R','R'), ('B','B'), ('R','B')]
N = 1_000_000
match = 0; given = 0
for _ in range(N):
    card = cards[rng.integers(0, 3)]
    top = rng.integers(0, 2)
    if card[top] == 'R':
        given += 1
        if card[1 - top] == 'R':
            match += 1
print(match / given)        # ≈ 0.667

Связь с парадоксом «два мальчика»

Классическая Гарднер-задача: «У семьи двое детей. Один из них мальчик. Какова вероятность, что оба мальчики?»

При равновероятных независимых полах детей: вероятность не 1/2, а 1/3 (если факт «один мальчик» — про минимум одного при равных полах).

Внимание к способу получения информации — ключевая идея. «Случайно показали красную» ≠ «случайно выбрали красную сторону среди всех возможных».

Подводные камни

Симметрия «двух карт» — ложная. Карта A даёт 2 «красные стороны», карта C — 1. Не путать карты и стороны.
«Как именно показывают сторону»: задача предполагает равномерный выбор стороны независимо от карты. Иные правила (например, «всегда показывают красную, если есть») дают другой ответ.
«Я выбрал случайную карту — увидел красную» vs «случайная сторона из 6 — красная»: оба варианта дают одинаковый ответ (2/3) при честном sampling, но интуиция разная.
Связь с Monty Hall: тот же принцип — учитывать вероятностные веса наблюдений, не «считать карты глазами».
«Эмпирическая частота 2/3»: при честных бросках на 6 миллионах — выйдет 0.667 ± 0.001.

Эталонный ответ

2/3.

Через Байеса: после наблюдения «сверху красная» апостериор P(карта A) = 2/3, P(карта C) = 1/3. Обратная сторона красная iff это карта A → 2/3.

Через подсчёт сторон: из 3 красных «сторон»-наблюдений 2 принадлежат карте RR.

Главная идея: учитывать, что карта с двумя красными даёт в 2 раза больше «красных» наблюдений, чем карта RB.

zadachi_ds: Три карточки — Байес и условная вероятность