Экзамен ААА — Дискретное любимое: оптимальное распределение по критерию

Условие

Жан-Жан Жан, который очень любит экспериментировать с распределениями случайных величин, задался вопросом: как раскрутить дискретное распределение и максимально учесть только следующие свойства:

P(X = 1) ≥ P(X = 2) ≥ ... ≥ P(X = K)

То есть, вероятности невозрастают по i = 1, 2, …, K. Жан Жан хочет посчитать, какое такое распределение даёт максимум/минимум некоторого функционала (например, дисперсии, энтропии или матожидания при фиксированных условиях).

Формулировка задачи

1. Покажите, что у случайной величины X с дискретным распределением и P(X=i) ≥ P(X=i+1), при условии что Σ P(X=i) = 1, матожидание E[X] минимально/максимально достигается на каком-то конкретном виде распределения.
2. Можно посчитать матожидание X для пункта а. Подробнее обоснуйте полученный результат.