Авито стажировка: вероятность здоровья при положительном тесте (Байес)

Условие

Существует редкое заболевание у 1% населения. Тест:

• Чувствительность 99% (положительный у больного).
• Ложноположительный у здоровых — 2%.

Тест показывает положительный результат у пациента. Какова вероятность того, что пациент здоров?

Решение

Формула Байеса

P(больной | +) = P(+ | больной) × P(больной) / P(+)

где P(+) = P(+|больной) × P(больной) + P(+|здоровый) × P(здоровый).

Подстановка

P(+) = 0.99 × 0.01 + 0.02 × 0.99 = 0.0099 + 0.0198 = 0.0297
P(больной | +) = 0.99 × 0.01 / 0.0297 = 0.0099 / 0.0297 ≈ 0.333
P(здоровый | +) = 1 − 0.333 ≈ 0.667

Ответ: ≈ 0.67 (вероятность того, что пациент здоров при положительном тесте).

Интуиция

При редкости заболевания (1%) ложноположительные у здоровых дают абсолютное число ошибок больше, чем истинных положительных у больных. Условная вероятность «здоров при +» получается высокой.

Численный пример

На 10 000 человек:

• 100 больных, из них 99 показывают +.
• 9 900 здоровых, из них 198 — ложно +.
• Всего + = 297. Из них здоровы = 198 → 198/297 ≈ 0.67.

Подводные камни

1. Не путайте P(+|больной) (чувствительность) и P(больной|+).
2. «Чувствительность 99%» относится к больным, «ложноположительные 2%» — к здоровым (специфичность = 98%).
3. При очень редких заболеваниях даже 99/2-тест почти бесполезен — нужно повторное тестирование.
4. Тестируем зависимые/независимые тесты при повторе — нужно осторожно умножать вероятности.

Эталонный ответ

P(здоровый | +) = 0.02 × 0.99 / (0.99 × 0.01 + 0.02 × 0.99) ≈ 0.667.